A Multi-State Constraint Kalman Filter for Vision-aided Inertial Navigation
Anastasios I. Mourikis and Stergios I. Roumeliotis
Abstract
- 본 논문에서는 real-time vision-aided inertial navigation을 위한 Extended Kalman Filter (EKF) 기반의 알고리즘을 소개한다.
- 이 작업의 주된 내용은 여러 카메라 포즈에서 정적인 특징들을 관측할 때 발생하는 기하학적 제한들을 표현하여 EKF의 측정 모델(measurement model)을 유도하는 것이다.
- 이 측정 모델은 EKF의 state vector에서 3차원 특징 좌표를 포함할 필요가 없으며, 선형 에러(linearization errors)까지 최적화 시킨다.
- 본 논문에서 제시한 vision-aided inertial navigation 알고리즘은 오직 선형적으로 특징점 개수만큼만 연산적인 복잡도를 갖으며, large-scale real-world 환경에 대해 높은 정밀도로 포즈를 추정하는 것이 가능하다.
- 알고리즘의 성능은 urban area에서 camera/IMU 시스템의 위치인식을 한 실험의 결과에 소개되어 있다.
1. Introduction
2. Related Work
3. Estimator Description
- 제안된 EKF-based estimator의 목표는 {G}로 표현되는 global frame에 대한 IMU 프레임 3D pose {I}를 tracking 하는 것이다.
- 알고리즘에 대한 개요는 Algorithm 1에서 확인할 수 있다.
| Algorithm 1 Multi-State Constraint Filter |
| Propagation: 매번 얻어지는 IMU measurement에 대해 filter state와 covariance를 propagate 한다. (cf. Section 3-B) Image registration: 매번 새로운 이미지가 얻어지면, - 현재 추정된 카메라 포즈의 copy와 함께 state와 covariance matrix를 증가(augment)시킨다. (cf. Section 3-C). - 이미지 처리 모듈의 작업을 시작한다. Update: 얻어진 이미지에 대해 특징이 검출되었다면, EKF update를 수행한다. (df. Sections 3-D) |
- 그러므로, 모든 시간의 EKF state vector instant는 다음과 같이 구성된다.
- 서서히 전개되는 IMU state를 의미하는 X_IMU
- N_max 개의 과거 camera poses.
A. Structure of the EKF state vector
- 서서히 전개되는 IMU state인 X_IMU는 식 (1)과 같이 vector로 표현된다.
- 이 때, q는 frame {G}로부터 frame {I}까지의 회전을 표현하는 unit quaternion이며, p와 v는 frame {G}에 대한 IMU의 위치, 속도이다. 마지막으로 b_g와 b_a는 각각 gyroscope와 accelerometer measurements에 대한 biases를 의미하는 3x1 vectors이다.
- IMU biases는 각각 white Gaussian noise vectors n_wg, n_wa인 random walk processes로 모델링 된다.
- IMU error-state는 식 (1)을 따라서 다음과 같은 식 (2)로 정의된다.
- 위치, 속도, 바이어스에 대해선 standard additive error definition이 사용된다. 예를 들면 상태 x에 대해 추정된 상태 x_^의 error인 x_~는 다음과 같다.
- 하지만 quaternion에 대해서는 다른 방식의 error definition이 사용된다.
- q_^-가 q_-에 대해 추정된 값이므로, 회전 error인 error quaternion δq_- 는 다음과 같이 정의된다.
- 여기서 X에 원이 둘러싸인 표시는 quaternion multiplication이 된다.
- error quaternion은 다음과 같다.
- 직관적으로 δq_-는 실제 회전과 추정된 회전 사이에 존재하는 작은 크기의 회전이 된다.
- 자세정보는 3자유도이므로, δθ를 사용하는 것은 자세 error에 대한 최소한의 표현이 된다.
- N camera poses들은 time-step k에서의 EKF state vector에 포함되어 있다고 가정하면, vector는 다음과 같은 형태가 된다.
- i = 1 ... N 일때 q와 p들은 각각 추정된 카메라의 자세와 위치가 된다.
- 따라서 EKF error-state vector는 다음과 같다.
B. Propagation
- filter propagation equations은 아래와 같이 continuous-time IMU system model의 이산화(discretization)로 유도된다.
1. Continuous-time system modeling
- IMU state의 시간변화는 다음과 같이 나타난다[20].
- 여기서 a는 global frame에서의 body acceleration이 되고, w=[wx, wy, wz]T는 IMU frame에서의 회전 속도가 된다.
- gyroscope와 accelerometer measurements인 w_m과 a_m은 [20]을 통해 다음과 같이 주어진다.
- C는 회전 행렬을 나타내며, n_g와 n_a는 zero-mean, white Gaussian noise processes modeling을 나타낸다.
- IMU measurements에 지구의 회전을 의미하는 w_G를 포함시키는 것이 중요하다.
- 게다가 accelerometer measurements의 경우 local frame에서 g_G로 표현되는 중력 가속도를 포함시키게 된다.
- 식 (6)의 state propagation equations을 적용함으써, IMU state를 추정하기 위한 propagating equations을 얻을 수 있다.
- 간결성을 위해 다음과 같이 수식들을 표현한다.
- IMU error-state 를 위한 linearized continuous-time model은 다음과 같다. 이 때, n_IMU = [n_g n_wg n_a n_wa] 가 system noise가 된다.
- n_IMU의 covariance matrix인 Q_IMU는 off-line의 sensor calibration을 통해 얻어지는 IMU noise 특성에 의존한다.
- 최종적으로, Eq.(10)의 행렬 F와 G는 다음과 같이 구해진다. 이 때, I_3는 3x3 identity matrix이다.
2. Discrete-time implementation
- IMU는 period T 간격으로 신호 w_m과 a_m을 샘플링하게 되며, 이러한 측정 값들은 EKF에서 state propagation에 사용된다.
- 매번 새로운 IMU measurement가 받아지면, IMU state estimate가 식 (9)를 이용한 5th order Runge-Kutta numerical integration을 사용하여 propagate된다.
- 게다가 EKF covariance matrix도 propagate 된다.
- 이러한 목적을 위해, 다음의 분할된 covariance를 소개한다.
- (0,0)은 evolving IMU state의 15x15 크기 covariance matrix
- (1,1)은 camera pose estimates의 6N x 6N 사이즈 covariance matrix
- (0,1) & (1,0)은 IMU state와 camera pose estimates 간의 error 관계이다.
- 다음과 같은 방법으로 propagated state의 covariance matrix가 주어진다.
- 이 때, (0,0)은 Lyapunov equation의 numerical integration에 의해 다음과 같이 계산된다.
- Numerical integration는 (0,0)인 초기조건을 사용하여 time interval (t_k, t_k+T)동안 이루어진다.
- state transition matrix Φ는 비슷하게 차동 방정식(differential equation)의 수치 적분(numerical integration)을 이용하게 된다. 이 때 초기화 조건은 Φ(t_k,t_k)=I_15가 된다.
C. State Augmentation
- 새로운 이미지를 받기 전, 식 (14)와 같이 IMU pose estimate 로부터 camera pose estimate를 계산하게 된다.
- 이 때, CI_q_- 는 IMU와 camera frame 사이의 회전을 나타내는 quaternion이며, I_p_C는 IMU frame {I}에 대한 camera frame의 origin의 위치가 된다.
- 이러한 camera pose estimate는 state vector에 추가되고, EKF의 공분산 행렬(covariance matrix)이 그에 따라 증가된다.
- 이 때, Jacobian J는 식(14)로부터 유도된다.
D. Measurement Model
- 이제 measurement model이 어떻게 state estimates updating에 사용되는지 소개한다. 이는 본 논문의 주요 내용이 된다.
- EKF가 state estimation에 사용되기 때문에, measurement model을 만들기 위해서는 residual "r"을 설정하는 것만으로도 충분하다. "r"은 선형적으로 state errors "X_~"에 의존하므로 일반형은 다음과 같게 된다.
- 식 (17)에서 H는 measurement Jacobian matrix이며, noise는 EKF framework에 적용하기 위해 반드시 zero-mean, white Gaussian noise이고, state error와 관계가 없어야 한다.
- measurement model을 유도하기 위해서, multiple camera poses로부터 정적인 특징(static feature)을 관측하게 되면 모든 poses에 대해 제약 조건(constraints)이 생긴다는 것에 동기부여를 받았다.
- 이 작업에서, camera observations은 measurements가 관측되는 per camera pose 보다는 per tracked feature로 묶었다. (per camera pose의 경우는 포즈간의 제약을 계산하는 방법이다[7], [13], [14].)
- 모든 3D point의 관측값(measurements)들과 관측값이 발견된 모든 camera poses들은 constraint equation (cf. Eq. (24))를 정의하는데에 사용된다.
- 이는 filter state vector에 feature position을 포함하지 않고도 얻어진다.
(글쓴이 : filter state vector가 커질수록 연산량은 증가하기 때문에, 3d feature position이 아닌 이미지의 특징 좌표를 state vector에 포함시켜 사용하는 것은 연산적으로 매우 이득이다.) - 해당 measurement model은 모든 M_j camera poses들의 set에서 발견된 하나의 특징(feature) f_j를 고려하게 된다. 이 때, camera poses는 아래와 같이 구성된다.
- 특징의 각 M_j observations은 식 (18)과 같은 모델로 설명된다.
- 이 때, n_i_(j)는 covariance matrix R_i_(j)가 있는 2x1 image noise vector이다.
- camera frame Ci_p_fj에 표현된 feature position은 다음과 같다.
- 이 때, G_p_fj는 global frame 에서의 3D feature position이다.
- G_p_fj를 알 수 없기 때문에, 알고리즘의 첫번째 단계에서 least-squares minimization을 사용해 feature position의 estimate, G_p_^fj를 얻어내게 된다.
- 이는 measurements z_i_(j)와 해당 time instants의 camera poses의 filter estimate를 사용하여 얻어진다. (cf.Appendix)
- 일단 feature position의 estimate가 얻어지면, measurement residual을 계산하게 된다.
- 이 때, z_^_i_(j)는 다음과 같다.
- camera pose와 feature position을 위한 estimates에 대한 선형화를 위해, Eq.(20)의 residual은 다음과 같이 근사될 수 있다.
- 위 수식에서 H_Xi(j)와 H_fi(j)는 각각 상태(state)와 feature position에 대한 measurement z_i(j)의 Jacobians이며, G_~p_fj는 f_j의 position estimate의 error이다.
- 위 수식의 Jacobians에 대한 정확한 값은 [21]에 나와있다.
- 해당 feature의 모든 관측값(measurements) M_j의 residual을 모으면 다음의 결과를 얻을 수 있다.
- 이 때, r_(j), H_X(j), H_f(j), n_(j) 들은 elements r_i(j), H_Xi(j), H_fi(j), n_i(j)를 갖는 block vectores 혹은 matrices이다. 이 때 i는 S_j의 부분집합이다.
- 서로 다른 이미지들에 존재하는 feature observations들은 독립적이기 때문에, n_(j)의 covariance matrix R_(j)는 다음과 같다.
- state estimate X가 feature position estimate(cf. Appendix)에 사용되기 때문에, Eq.(22)의 error G_~p_fj는 errors ~X와 관련된다.
- 그러므로 residual r_(j)는 Eq.(17)의 형태가 아니며, EKF의 measurement updates에 바로 적용될 수 없다.
- 이러한 문제점을 극복하기 위해, 본 논문에서는 residual r_o(j)를 행렬 H_f(j)의 left nullspace에 사영시킴으로써 residual r_o(j)를 정의하게 된다.
- 특히, 행렬 A를 행렬 H_f의 left nullspace의 기저를 형성하는 columns을 갖는 단위 행렬로 나타낸다면 우리는 아래와 같은 수식을 얻을 수 있다.
- 2M_j X 3 행렬인 H_j(j)는 full column rank이므로, H_j(j)의 left nullspace는 2M_j - 3 차원이 된다.
- 그러므로 r_o(j)는 (2M_j - 3) X 1 vector가 된다.
- 해당 residual은 feature coordinates의 errors에서 독립적이고, 그렇기 때문에 이를 기반으로 EKF updates를 수행하는 것이 가능하다.
- Eq.(24)는 feature f_j가 관측된 모든 camera poses 사이의 선형적 제한(linearized constraint)을 정의한다.
- 이는 measurements z_i(j)가 M_ states를 위해 제공하는 모든 가능한 정보를 의미하며, 그러므로 선형화(linearization)에 의해 생기는 부정확함(inaccuracies)을 제외한 EKF update가 최적화된다.
- 언급하고 넘어가야할 부분은, residual r_o(j)와 measurement matrix H_o(j)를 계산하기 위해, 단위 행렬(unitary matrix) A가 꼭 명확하게 평가되어야할 필요는 없다는 것이다.
- 그 대신에, H_f(j)의 nullspace에 대한 vector r과 행렬(matrix) H_X(j)의 사영을 이용하면 O(M_j2) operations[22]를 통해 매우 효율적으로 계산이 가능하다.
- 추가적으로, 행렬 A가 단위(unitary) 행렬이기 때문에, noise vector n_o(j)의 공분산 행렬(covariance matrix)은 다음과 같아진다.
- Eq. (23)에 정의된 residual은 M_j 이미지의 정적인 특징을 얻어냄으로써 발생하는 기하학적 제한(geometric constraints)를 표현하는 유일한 방법이 아니다.
- 대체 가능한 접근으로, 예를 들면, 각각 M_j(M_j - 1)/2 pairs of images에 대한 epipolar constraints이 정의된다.
- 그러나 각각의 measurement가 여러번 사용되므로 방정식이 통계적으로 상관성을 갖으므로 M_j(M_j - 1)/2 equations은 여전히 2M_j - 3의 독립적인 제한하고만 연관성을 갖게 된다.
- 실험에서 epipolar constraints의 linearization을 사용하는 것이 기존의 방법보다 훨씬 복잡한 과정을 거쳐야하고, 더 낮은 결과를 도출한다는 것을 증명하였다.
E. EKF Updates
- 앞의 섹션에서 여러 카메라 포즈로 부터 얻어진 중첩되는 정적인 특징(static feature)을 관측함으로써 기하학적 제한(geometric constraints)를 표현하는 측정 모델(measurement model)을 소개하였다.
- 이제 관측된 여러 특징(features)로부터 얻어진 제한(constaints)을 이용해 EKF를 갱신(update)하는 부분에 대해 자세히 소개한다.
- EKF 갱신(updates)는 아래의 두가지 이벤트 중 하나가 발생하게되면 이루어진다.
- 첫번째이벤트
- 여러 이미지에서 추적된 특징점이 더 이상 검출되지 않게 되면 해당 특징에 대한 모든 측정값(measurements)들은 섹션 3-D의 기법으로 진행된다.
- 이런 경우는 특징이 카메라의 관측범위(field of view)에서 벗어나게 되면 매우 빈번하게 일어나게 된다.
- 두번째 이벤트
- 매번 새로운 이미지가 얻어지면, 현재 추정된 카메라 포즈(camera pose estimate)의 copy는 state vector에 포함되게 된다. (cf. Section 3-C)
- 만약 최대 개수의 카메라 포즈(N_max)가 얻어지면, 최소 한 개의 오래된 포즈가 제거된다.
- 상태(states)를 제거하기 전에, 위치인식 정보에 활용하기 위하여 해당 시간에서 일어난 모든 특징 관측(feature observations)을 사용한다.
- 해당 알고리즘에서, 두번째로 오래된 포즈부터 시작 포즈까지 N_max/3 개의 포즈가 균등한 시간간격으로 선택된다.
- 이 포즈들에 공통적으로 존재하는 특징(features)의 제약(constraints)를 사용하는 EKF 갱신(update)이 수행된 후, 해당 포즈들은 버려지게 된다.
- 본 논문에서는 가장 오래된 state vector의 포즈를 유지하게 되는데, 왜냐하면 포즈와 관련된 기하학적 제약(geometric constraints)는 일반적으로 오래될수록 큰 기준점이 되기 때문이며, 더 가치있는 위치 정보(positioning information)을 얻기 때문이다.
- 이러한 접근법은 실험에서도 잘 작동하는 것을 보여준다.
- 첫번째이벤트
- 이제 갱신 과정(update process)에 대해 자세히 이야기해보자.
- 위 두 기준에 의해 선택된 주어진 time step에서 L features의 제약(constraints)이 반드시 이루어진다고 하자.
- 앞의 섹션에서 설명된 과정을 따르면, 우리는 각 특징(features)에 대한 residual vector r_o(j), j=1...L와 이와 관련된 measurement matrix H_o(j), j=1...L을 계산하고 싶다(cf. Eq. (23)).
- 모든 residuals을 single vector에 쌓으면 다음과 같은 수식을 얻을 수 있다.
- 이 때, r_o와 n_o는 각각 block elements r_o(j)와 n_o(j)로 만들어진 vectors가 되고, H_x는 block rows H_x(j), j=1...L로 이루어진 행렬이 된다.
- 특징 측정(feature measurements)은 통계적으로 독립적이기 때문에, noise vectors n_o(j)는 상관이 없다.
- 그러므로, noise vector n_o의 공분산 행렬(covariance matrix)은 다음과 같으며, residual r_o의 크기(차원)를 갖는다.
- 실제에서 발생할 수 있는 하나의 문제는, d가 매우 큰 수가 될 수도 있다는 것이다.
- 예를들어, 10개의 포즈에서 각각 10개씩의 특징(features)이 발견되면, residual의 크기(차원,dimension)은 170이 된다.
- EKF 갱신(Update)의 연산량을 줄이기 위해, 본 논문에서는 H_X의 QR decomposition을 이용한다[9].
- 특별히, 해당 분해(decomposition)을 다음과 같이 표기한다.
- 이 때, Q_1과 Q_2는 열이 각각 H_x의 range와 nullspace에 대한 밑(bases)을 형성하는 단위 행렬(unitary matrices)이 되며, T_H는 윗삼각행렬(upper triangular matrix)이 된다.
- 이러한 정의와 함께 Eq.(25) 을 이용하면 다음의 수식이 얻어진다.
- 마지막 방정식을 살펴보면 residual r_o를 H_x의 range의 기저벡터에 사영시킴으로써 measurements에서 모든 유용한 정보를 얻을 수 있다는 것을 확실히 알 수 있다.
- residual Q_2T r_o는 단순 노이즈고, 전부 버려도 된다.
- 이러한 이유에서 EKF 갱신(update)에서 Eq.(25)의 residual 대신에 본 논문은 다음의 residual을 사용한다.
- 위 수식에서 n_n = Q_1T n_o는 노이즈 벡터이며, n_n의 공분산 행렬(covariance matrix)는 다음과 같다.
- 이 때, r은 Q_1의 columns의 개수가 된다.
- Kalman gain을 계산함으로써 EKF 갱신(update)는 다음과 같이 진행된다.
- state의 수정은 vector에 의해 이루어진다.
- 마지막으로, 상태 공분산 행렬(state covariance matrix)는 다음과 같이 update 된다.
- 이 때, ξ = 6N+15는 공분산 행렬(covariance matrix)의 크기(차원)이 된다.
F. Disscussion
4. Experimental Results
5. Conclusions
From IEEE (ieeexplore.ieee.org/document/4209642/references#references)
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